?

Log in

No account? Create an account

Правильный подход к решению задач по физике

Пружинный маятник

Пружинный маятник

Previous Entry Share Next Entry
experiment
Задача: Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону x = A·sin(2π·t/T), где период T = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника достигнет половины своего максимума?
Читаем: Смещение груза пружинного маятника с течением времени по закону x = A·sin(2π·t/T), где период T = 1 с. Пока, вроде всё понятно. Пружинный маятник - шарик, прикреплённый к пружинке. Колебания гармонические незатухающие. Силой тяжести, силой трения (как и многим другим) можно пренебречь. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника достигнет половины своего максимума? Найти аналитическое выражение для потенциальной энергии маятника. Проанализировав его, найти минимальное время, через которое потенциальная энергия достигнет половины своего максимума.
Думаем: Во-первых: почему минимальное время? Потому что имеет место колебательный процесс и потенциальная энергия изменяется тоже циклически, поэтому "половин максимума" может быть сколько угодно. Нам нужно найти первую :). Далее: Потенциальная энергия пружины описывает её "желание вернуться в исходное состояние" (т.е. не сжатое или не растянутое). Таким образом, потенциальная энергия маятника равна работе, которую должна совершить пружина для возвращение в исходное состояние:

Подставив в это выражение x, мы найдём аналитическое выражение для потенциальной энергии маятника.
Решаем: Поскольку потенциальная энергия прямо пропорциональна квадрату синуса от времени (см. рассуждения выше), то она достигнет половины максимума (первый раз) тогда, когда
sin(2π·t/T) = 1/√2
или когда 2π·t/T = π/4 (45°).
Выразить время теперь не составит труда:
t/T = 1/8, тогда t = T/8 = 1/8 сек.
Ответ: минимальное время, через которое потенциальная энергия достигнет половины своего максимума - 1/8 секунды или 0.125 сек.
Примечание: Лишним не будет напоминание о том, что гармонические процессы присутствуют практически везде, а поэтому очень полезным будет знать наизусть уравнение гармонических колебаний и значение синусов и косинусов в определённых углах. Также нужно безошибочно строить графики синуса и косинуса. Будьте внимательны: в данной задаче синус был равен 1/√2, а это означало, что аргумент синуса равен π/4, а не t = π/4. Понять, в чём же дело, поможет такое упражнение: постройте на одном графике две функции: sin x и sin 2x. Затем посмотрите, чему равны оба синуса в точках x = 0, π/4 и π/2, и чему должен равняться x, чтобы синусы стали равны 1/2 и 1. Подсказка: аргумент первой функции - x, аргумент второй - 2x.
Powered by LiveJournal.com